专升本高等数学

概率论方法全面总结
由浅入深 · 逐步扩展 · 逻辑通顺 · 条理清晰
📖 使用说明

本文档系统梳理专升本概率论的全部核心方法，按照从基础到进阶的逻辑编排。每个方法配有典型习题与详细解析，建议按顺序学习，循序渐进。

符号约定： $P(A)$ 表示事件 $A$ 的概率，$\overline{A}$ 表示 $A$ 的对立事件，$A \cup B$ 表示并事件，$A \cap B$（简记 $AB$）表示交事件，$E(X)$ 表示期望，$D(X)$ 表示方差，$\sim$ 表示"服从某分布"。

第一篇 基础篇——随机事件与概率
一、古典概型
方法一：古典概型
核心思想：若试验满足有限性（样本点有限）与等可能性（每个样本点等概率），则用古典概型公式直接计算概率。

计算公式：

$$P(A) = \frac{\text{事件 } A \text{ 包含的样本点数}}{\text{样本空间 } \Omega \text{ 的样本点总数}} = \frac{k}{n}$$

排列组合工具：

解题步骤：

  1. 明确试验的样本空间 $\Omega$，确认等可能性。
  2. 计算 $n = |\Omega|$（总样本点数）。
  3. 计算 $k = |A|$（事件 $A$ 的样本点数）。
  4. 代入 $P(A) = k / n$。
⚠ 常见陷阱
习题 1

袋中有 5 个白球、3 个红球，从中任取 3 个，求恰好取到 2 个白球 1 个红球的概率。

解： 样本空间：从 8 个球中任取 3 个，$n = C_8^3 = 56$。

事件 $A$：2 白 1 红，$k = C_5^2 \times C_3^1 = 10 \times 3 = 30$。

$$P(A) = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$$
习题 2

将 3 封信随机投入 4 个信箱，求恰有 2 封信投入同一信箱的概率。

解： 每封信独立选信箱，样本空间 $n = 4^3 = 64$。

事件 $A$：恰有 2 封在同一信箱，第 3 封在不同信箱。

先选哪 2 封在一起：$C_3^2 = 3$；再选信箱：4 个；第 3 封选不同信箱：3 个。

$$k = 3 \times 4 \times 3 = 36, \quad P(A) = \frac{36}{64} = \frac{9}{16}$$
二、加法公式与概率性质
方法二：加法公式与概率性质
核心思想：利用概率的基本性质和加法公式，将复杂事件的概率分解为简单事件的概率。

基本性质：

加法公式：

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$
$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$$

常用技巧：

习题 1

已知 $P(A) = 0.4$，$P(B) = 0.3$，$P(A \cup B) = 0.6$，求 $P(A\overline{B})$。

解： 先求 $P(AB)$：

$$P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.4 + 0.3 - 0.6 = 0.1$$

再求 $P(A\overline{B})$：

$$P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB) = 0.4 - 0.1 = 0.3$$
习题 2

甲乙丙三人独立破译密码，成功率分别为 $0.5, 0.6, 0.7$，求密码被破译的概率。

解： 设 $A, B, C$ 分别为甲、乙、丙成功。密码被破译 $= A \cup B \cup C$。

用对立事件：$\overline{A \cup B \cup C} = \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}$。

$$P(\overline{A}) = 0.5, \quad P(\overline{B}) = 0.4, \quad P(\overline{C}) = 0.3$$

由独立性：

$$P(\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}) = 0.5 \times 0.4 \times 0.3 = 0.06$$
$$P(A \cup B \cup C) = 1 - 0.06 = 0.94$$
第二篇 条件概率篇——条件概率与三大公式
三、条件概率与乘法公式
方法三：条件概率与乘法公式
核心思想：在已知某事件发生的前提下，重新评估另一事件的概率。

条件概率定义： 设 $P(B) \gt 0$，

$$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$$

乘法公式：

$$P(AB) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)$$

推广到三个事件：

$$P(ABC) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|AB)$$

条件概率的性质：

⚠ 常见陷阱

$P(A|B)$ 和 $P(B|A)$ 是不同的！$P(A|B)$ 是"已知 $B$ 发生，$A$ 的概率"；$P(B|A)$ 是"已知 $A$ 发生，$B$ 的概率"。混淆是考试中最常见的错误之一。

习题 1

袋中有 3 红 2 白共 5 球，无放回地取两次，每次取 1 球。已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率。

解： 设 $A$ = 第一次红，$B$ = 第二次红。

已知 $A$ 发生后，袋中剩 2 红 2 白，共 4 球：

$$P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

另法（用定义）： $P(AB) = \dfrac{C_3^2}{C_5^2} = \dfrac{3}{10}$，$P(A) = \dfrac{3}{5}$，故 $P(B|A) = \dfrac{3/10}{3/5} = \dfrac{1}{2}$。

习题 2

一批零件合格率 0.9，合格品中一级品率 0.8，求任取一件是一级品的概率。

解： 设 $A$ = 合格，$B$ = 一级品。

$P(A) = 0.9$，$P(B|A) = 0.8$。一级品必为合格品，故 $B \subset A$，$AB = B$。

$$P(B) = P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = 0.9 \times 0.8 = 0.72$$
四、全概率公式
方法四：全概率公式
核心思想：将复杂事件分解为若干互斥的简单情形之和，分别计算再汇总。

全概率公式： 设 $B_1, B_2, \ldots, B_n$ 为样本空间的一个划分（互斥且并等于 $\Omega$，$P(B_i) \gt 0$），则对任意事件 $A$：

$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$$

适用场景：

解题步骤：

  1. 找出样本空间的一个划分 $B_1, \ldots, B_n$（"原因"或"阶段"）。
  2. 计算各 $P(B_i)$（先验概率）。
  3. 计算各 $P(A|B_i)$（条件概率）。
  4. 代入全概率公式求和。
习题 1

甲箱有 3 红 2 白，乙箱有 2 红 5 白。先掷一枚均匀骰子，若出现 1 或 2 则从甲箱取球，否则从乙箱取球。求取到红球的概率。

解： 设 $B_1$ = 选甲箱，$B_2$ = 选乙箱，$A$ = 取到红球。

$P(B_1) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$，$P(B_2) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$。

$P(A|B_1) = \dfrac{3}{5}$，$P(A|B_2) = \dfrac{2}{7}$。

$$P(A) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{2}{3} \times \frac{2}{7} = \frac{1}{5} + \frac{4}{21} = \frac{41}{105}$$
习题 2

某工厂三条流水线生产同种产品，产量分别占总量的 20%, 30%, 50%，次品率分别为 2%, 1%, 3%。求产品的总次品率。

解： 设 $B_i$ = 第 $i$ 条线生产（$i=1,2,3$），$A$ = 次品。

$P(B_1) = 0.2$，$P(B_2) = 0.3$，$P(B_3) = 0.5$。

$P(A|B_1) = 0.02$，$P(A|B_2) = 0.01$，$P(A|B_3) = 0.03$。

$$P(A) = 0.2 \times 0.02 + 0.3 \times 0.01 + 0.5 \times 0.03 = 0.004 + 0.003 + 0.015 = 0.022$$
五、贝叶斯公式
方法五：贝叶斯公式
核心思想：已知"结果"发生了，反推各"原因"的概率——由果溯因。

贝叶斯公式： 设 $B_1, \ldots, B_n$ 为 $\Omega$ 的划分，$P(A) \gt 0$，则：

$$P(B_k|A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)} = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{P(A)}$$

理解要点：

⚠ 常见陷阱

贝叶斯公式的分子是全概率公式求和中的第 $k$ 项，分母是整个求和。考试中常犯的错误是忘记除以分母（即忘了除以 $P(A)$）。

习题 1

（接全概率公式习题2）已知取出的是次品，求它由第一条流水线生产的概率。

解： 由上题，$P(A) = 0.022$。

$$P(B_1|A) = \frac{P(B_1) \cdot P(A|B_1)}{P(A)} = \frac{0.2 \times 0.02}{0.022} = \frac{0.004}{0.022} = \frac{2}{11} \approx 0.182$$
习题 2

某疾病发病率为 0.001。一种检测方法对患病者阳性率 0.99，对健康者假阳性率 0.05。某人检测为阳性，求他确实患病的概率。

解： 设 $D$ = 患病，$A$ = 阳性。

$P(D) = 0.001$，$P(\overline{D}) = 0.999$，$P(A|D) = 0.99$，$P(A|\overline{D}) = 0.05$。

$$P(A) = 0.001 \times 0.99 + 0.999 \times 0.05 = 0.00099 + 0.04995 = 0.05094$$
$$P(D|A) = \frac{0.00099}{0.05094} \approx 0.0194$$

说明： 虽然检测准确率高达 99%，但由于发病率极低，阳性结果中真正患病者仅约 1.94%！这就是基础概率谬误。

第三篇 独立性篇——事件独立性与伯努利概型
六、事件独立性
方法六：事件独立性
核心思想：若事件 $A$ 的发生与否不影响 $B$ 的概率，则称 $A$ 与 $B$ 独立。

定义： 若 $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$，则 $A$ 与 $B$ 独立。

等价条件： 若 $P(B) \gt 0$，则 $A$ 与 $B$ 独立 $\Leftrightarrow$ $P(A|B) = P(A)$。

多个事件的独立性： $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 相互独立，要求任意 $k$ 个（$2 \le k \le n$）的交概率等于各自概率之积。

重要性质：

⚠ 常见陷阱

独立与互斥的区别：互斥是 $AB = \emptyset$（不能同时发生），独立是 $P(AB) = P(A)P(B)$（互不影响）。若 $P(A) \gt 0$ 且 $P(B) \gt 0$，则互斥必不独立，独立必不互斥。

习题 1

甲乙两人独立射击目标，命中率分别为 0.8 和 0.6。求目标被命中的概率。

解： 设 $A, B$ 分别为甲、乙命中。$P(A) = 0.8$，$P(B) = 0.6$，独立。

$$P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A})P(\overline{B}) = 1 - 0.2 \times 0.4 = 1 - 0.08 = 0.92$$
习题 2

某系统由三个元件并联组成，各元件正常工作的概率均为 $p$，求系统正常工作的概率。

解： 并联系统只要一个元件正常即可。设 $A_i$ = 第 $i$ 个元件正常（$i=1,2,3$），相互独立。

$$P(\text{系统正常}) = 1 - P(\overline{A_1}\,\overline{A_2}\,\overline{A_3}) = 1 - (1-p)^3$$
七、伯努利概型
方法七：伯努利概型与二项概率
核心思想：将试验独立重复 $n$ 次，每次只有"成功"与"失败"两个结果，求恰好成功 $k$ 次的概率。

$n$ 重伯努利试验的条件：

  1. 每次试验只有两个结果 $A$ 和 $\overline{A}$。
  2. 各次试验相互独立。
  3. 每次试验 $P(A) = p$ 保持不变。

二项概率公式： 在 $n$ 重伯努利试验中，$A$ 恰好发生 $k$ 次的概率：

$$P_n(k) = C_n^k \, p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$$

关键识别： 题目出现"独立重复""每次概率相同""恰好 $\ldots$ 次"等关键词时，考虑伯努利概型。

习题 1

某射手命中率为 0.7，独立射击 4 次，求恰好命中 3 次的概率。

解： $n = 4$，$p = 0.7$，$k = 3$。

$$P_4(3) = C_4^3 \times 0.7^3 \times 0.3^1 = 4 \times 0.343 \times 0.3 = 0.4116$$
习题 2

某灯泡合格率为 0.9，从中任取 5 个，求至少有 1 个不合格的概率。

解： $n = 5$，"不合格"概率 $p = 0.1$。

$$P(\text{至少1个不合格}) = 1 - P_5(0) = 1 - C_5^0 \times 0.1^0 \times 0.9^5 = 1 - 0.59049 = 0.40951$$
第四篇 离散型篇——离散型随机变量及其分布
八、分布律与分布函数
方法八：离散型随机变量的分布律与分布函数
核心思想：用表格或函数描述离散型随机变量取各个值的概率。

分布律（概率分布列）： 随机变量 $X$ 取值 $x_1, x_2, \ldots$，对应概率 $p_1, p_2, \ldots$，满足：

分布函数： $F(x) = P(X \le x) = \sum_{x_k \le x} p_k$。

分布函数的性质：

⚠ 常见陷阱

离散型随机变量的分布函数是阶梯函数，在每个取值点处右连续但左不连续（有跳跃）。$P(X = x_k) = F(x_k) - F(x_k^-)$，即跳跃高度。

习题 1

设 $X$ 的分布律为 $P(X = k) = \dfrac{c}{k}$，$k = 1, 2, 3$，求常数 $c$ 及 $P(X \le 2)$。

解： 由 $\sum p_k = 1$：

$$c\left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) = 1 \Rightarrow c \cdot \frac{11}{6} = 1 \Rightarrow c = \frac{6}{11}$$
$$P(X \le 2) = P(X=1) + P(X=2) = \frac{6}{11} + \frac{3}{11} = \frac{9}{11}$$
习题 2

设 $X$ 的分布函数为 $F(x) = \begin{cases} 0, & x \lt 0 \\ 0.3, & 0 \le x \lt 1 \\ 0.7, & 1 \le x \lt 2 \\ 1, & x \ge 2 \end{cases}$，求 $X$ 的分布律。

解： $X$ 只在 $x = 0, 1, 2$ 处有概率（跳跃点）。

$$P(X=0) = F(0) - F(0^-) = 0.3 - 0 = 0.3$$
$$P(X=1) = F(1) - F(1^-) = 0.7 - 0.3 = 0.4$$
$$P(X=2) = F(2) - F(2^-) = 1 - 0.7 = 0.3$$
$X$012
$P$0.30.40.3
九、常见离散型分布
方法九：常见离散型分布
核心思想：掌握四种常见离散分布的分布律、期望和方差，考试中直接套用。
分布名称分布律期望 $E(X)$方差 $D(X)$
0-1分布$P(X=1)=p,\; P(X=0)=1-p$$p$$p(1-p)$
二项分布 $B(n,p)$$P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$$np$$np(1-p)$
泊松分布 $P(\lambda)$$P(X=k)=\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$\lambda$$\lambda$
几何分布$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\; k\ge1$$\dfrac{1}{p}$$\dfrac{1-p}{p^2}$

泊松分布的应用场景： 单位时间内稀有事件发生次数（如电话呼入数、设备故障数等）。

泊松近似定理： 当 $n$ 很大、$p$ 很小时，$B(n,p) \approx P(\lambda)$，其中 $\lambda = np$。

超几何分布： $N$ 件中有 $M$ 件次品，无放回取 $n$ 件，次品数 $X$ 的分布：

$$P(X=k) = \frac{C_M^k \, C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$$

当 $N$ 很大时，超几何分布 $\approx$ 二项分布 $B(n, M/N)$。

习题 1

某路口每周发生事故数 $X \sim P(2)$（泊松分布），求一周内恰好发生 1 次事故的概率。（$e^{-2} \approx 0.1353$）

解： $\lambda = 2$，

$$P(X=1) = \frac{2^1 e^{-2}}{1!} = 2e^{-2} \approx 2 \times 0.1353 = 0.2706$$
习题 2

某批次产品合格率 0.95，从中取 100 件，用泊松分布近似求至少有 3 件不合格的概率。

解： $X \sim B(100, 0.05)$，$n$ 大 $p$ 小，$\lambda = np = 5$，近似 $X \sim P(5)$。

$$P(X \ge 3) = 1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)$$
$$= 1 - e^{-5}\left(1 + 5 + \frac{25}{2}\right) = 1 - e^{-5} \times 18.5 \approx 1 - 0.1247 = 0.8753$$
第五篇 连续型篇——连续型随机变量及其分布
十、概率密度函数
方法十：连续型随机变量与概率密度函数
核心思想：连续型随机变量用概率密度函数 $f(x)$ 描述取值规律。

概率密度函数 $f(x)$ 的性质：

分布函数与密度的关系：

$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt, \quad f(x) = F'(x) \; (\text{连续点处})$$

求密度中的未知常数： 利用 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$ 解出。

⚠ 常见陷阱

$P(a \le X \le b) = P(a \lt X \le b) = P(a \le X \lt b) = P(a \lt X \lt b) = \int_a^b f(x)\,dx$，因为单点概率为零。这与离散型不同！

习题 1

设 $X$ 的密度为 $f(x) = \begin{cases} cx^2, & 0 \le x \le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，求 $c$ 及 $P(X \gt 0.5)$。

解： 由 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$：

$$\int_0^1 cx^2\,dx = \frac{c}{3} = 1 \Rightarrow c = 3$$
$$P(X \gt 0.5) = \int_{0.5}^{1} 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_{0.5}^{1} = 1 - 0.125 = 0.875$$
习题 2

设 $X$ 的分布函数为 $F(x) = \begin{cases} 0, & x \lt 0 \\ x^2, & 0 \le x \lt 1 \\ 1, & x \ge 1 \end{cases}$，求密度函数 $f(x)$ 及 $P(0.3 \lt X \lt 0.7)$。

解： $f(x) = F'(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \le x \le 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

$$P(0.3 \lt X \lt 0.7) = F(0.7) - F(0.3) = 0.49 - 0.09 = 0.40$$
十一、均匀分布与指数分布
方法十一：均匀分布与指数分布
核心思想：掌握两种常用连续分布的密度函数、分布函数及期望方差。

（1）均匀分布 $X \sim U(a, b)$

密度函数：

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a \le x \le b \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

分布函数：

$$F(x) = \begin{cases} 0, & x \lt a \\ \dfrac{x-a}{b-a}, & a \le x \lt b \\ 1, & x \ge b \end{cases}$$

$E(X) = \dfrac{a+b}{2}$，$D(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$。

（2）指数分布 $X \sim E(\lambda)$（$\lambda \gt 0$）

密度函数：

$$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \gt 0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases}$$

分布函数：

$$F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x \gt 0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases}$$

$E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$，$D(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$。

✅ 指数分布的无记忆性
$$P(X \gt s + t \mid X \gt s) = P(X \gt t)$$

指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布。即：已使用了 $s$ 时间未坏的元件，继续使用 $t$ 时间的概率与新元件相同。

习题 1

公共汽车站每 10 分钟一班，乘客到站时刻均匀分布。求乘客等车不超过 3 分钟的概率。

解： 设等车时间 $X \sim U(0, 10)$，$f(x) = \dfrac{1}{10}$，$0 \le x \le 10$。

$$P(X \le 3) = \frac{3 - 0}{10 - 0} = \frac{3}{10} = 0.3$$
习题 2

某元件寿命 $X \sim E(0.01)$（单位：小时），求元件寿命超过 100 小时的概率。

解： $\lambda = 0.01$，$F(x) = 1 - e^{-0.01x}$。

$$P(X \gt 100) = 1 - F(100) = e^{-0.01 \times 100} = e^{-1} \approx 0.3679$$
十二、正态分布
方法十二：正态分布
核心思想：正态分布是概率论中最重要的分布，专升本考试重点考查标准化与查表计算。

正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的密度函数：

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty \lt x \lt +\infty$$

性质：

标准化： 令 $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$，则：

$$P(a \lt X \lt b) = P\left(\frac{a - \mu}{\sigma} \lt Z \lt \frac{b - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$

其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数。

$3\sigma$ 法则：

✅ 标准正态分布查表技巧

$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$（对称性）。$P(X \gt a) = 1 - \Phi\!\left(\dfrac{a - \mu}{\sigma}\right)$。

习题 1

设 $X \sim N(2, 9)$，求 $P(X \gt 5)$。（$\Phi(1) = 0.8413$）

解： $\mu = 2$，$\sigma = 3$。标准化：

$$P(X \gt 5) = P\left(Z \gt \frac{5 - 2}{3}\right) = P(Z \gt 1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$$
习题 2

设 $X \sim N(\mu, 4)$，且 $P(X \le 2) = 0.5$，求 $\mu$ 及 $P(X \le 0)$。（$\Phi(-1) = 0.1587$）

解： 由 $P(X \le 2) = 0.5$，正态分布中位数为 $\mu$，故 $\mu = 2$。

$\sigma = 2$，标准化：

$$P(X \le 0) = P\left(Z \le \frac{0-2}{2}\right) = P(Z \le -1) = \Phi(-1) = 0.1587$$
第六篇 数字特征篇——期望、方差与协方差
十三、期望的计算
方法十三：数学期望的计算
核心思想：期望是随机变量的"平均值"，是概率论的核心数字特征。

（1）离散型： $E(X) = \displaystyle\sum_k x_k \, p_k$

（2）连续型： $E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x \, f(x)\,dx$

期望的性质：

随机变量函数的期望：

习题 1

设 $X$ 的分布律为 $P(X=-1)=0.2$，$P(X=0)=0.5$，$P(X=2)=0.3$，求 $E(X)$ 和 $E(X^2)$。

解：

$$E(X) = (-1) \times 0.2 + 0 \times 0.5 + 2 \times 0.3 = -0.2 + 0.6 = 0.4$$
$$E(X^2) = (-1)^2 \times 0.2 + 0^2 \times 0.5 + 2^2 \times 0.3 = 0.2 + 1.2 = 1.4$$
习题 2

设 $X \sim U(0, 2)$，求 $E(X^2)$。

解： $f(x) = \dfrac{1}{2}$，$0 \le x \le 2$。

$$E(X^2) = \int_0^2 x^2 \cdot \frac{1}{2}\,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3}\bigg|_0^2 = \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$
十四、方差与标准差
方法十四：方差与标准差
核心思想：方差度量随机变量偏离期望的程度，反映"波动大小"。

定义： $D(X) = E\left[(X - E(X))^2\right]$

计算公式（重要）：

$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

方差的性质：

标准差： $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$，与 $X$ 同量纲。

⚠ 常见陷阱

$D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2\,\text{Cov}(X,Y)$。只有当 $X, Y$ 独立时，$D(X - Y) = D(X) + D(Y)$。不独立时差的前面是减号，不要写成 $D(X) - D(Y)$！

习题 1

（接期望习题1）已知 $E(X) = 0.4$，$E(X^2) = 1.4$，求 $D(X)$。

解：

$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1.4 - 0.16 = 1.24$$
习题 2

设 $X \sim U(a, b)$，用期望和 $E(X^2)$ 推导 $D(X)$。

解： $f(x) = \dfrac{1}{b-a}$，$a \le x \le b$。

$$E(X) = \frac{a+b}{2}, \quad E(X^2) = \int_a^b \frac{x^2}{b-a}\,dx = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$$
$$D(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{4(a^2+ab+b^2) - 3(a^2+2ab+b^2)}{12} = \frac{(b-a)^2}{12}$$
十五、协方差与相关系数
方法十五：协方差与相关系数
核心思想：描述两个随机变量之间的线性关联程度。

协方差：

$$\text{Cov}(X, Y) = E\left[(X - E(X))(Y - E(Y))\right] = E(XY) - E(X) \cdot E(Y)$$

相关系数：

$$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)}\,\sqrt{D(Y)}}$$

性质：

✅ 独立与不相关的关系

独立 $\Rightarrow$ 不相关，但不相关 $\not\Rightarrow$ 独立。特例：$(X, Y)$ 服从二维正态分布时，独立 $\Leftrightarrow$ 不相关。

习题 1

设 $X, Y$ 的联合分布律为：$P(X=0,Y=0)=0.3$，$P(X=0,Y=1)=0.2$，$P(X=1,Y=0)=0.1$，$P(X=1,Y=1)=0.4$。求 $\text{Cov}(X, Y)$ 和 $\rho_{XY}$。

解： 边缘分布：$P(X=0)=0.5$，$P(X=1)=0.5$，$P(Y=0)=0.4$，$P(Y=1)=0.6$。

$$E(X) = 0.5, \quad E(Y) = 0.6$$
$$E(XY) = 0 \times 0 \times 0.3 + 0 \times 1 \times 0.2 + 1 \times 0 \times 0.1 + 1 \times 1 \times 0.4 = 0.4$$
$$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0.4 - 0.5 \times 0.6 = 0.1$$
$$D(X) = 0.25, \quad D(Y) = 0.24$$
$$\rho_{XY} = \frac{0.1}{\sqrt{0.25 \times 0.24}} = \frac{0.1}{\sqrt{0.06}} \approx 0.408$$
习题 2

设 $X \sim N(0,1)$，$Y = X^2$，判断 $X$ 与 $Y$ 是否不相关，是否独立。

解：

$E(X) = 0$，$E(XY) = E(X^3) = 0$（奇函数，对称分布）。

$$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y) = 0 - 0 = 0$$

故 $X$ 与 $Y$ 不相关。

但 $Y = X^2$ 完全由 $X$ 决定，不独立。这说明不相关不等于独立。

第七篇 极限定理篇——大数定律与中心极限定理
十六、切比雪夫不等式
方法十六：切比雪夫不等式
核心思想：利用期望和方差，对随机变量偏离期望的概率给出上界估计。

切比雪夫不等式： 设 $E(X) = \mu$，$D(X) = \sigma^2$，对任意 $\varepsilon \gt 0$：

$$P(|X - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$$

等价形式：

$$P(|X - \mu| \lt \varepsilon) \ge 1 - \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$$

用途：

⚠ 常见陷阱

切比雪夫不等式给出的是上界估计，通常比较粗糙。$\varepsilon$ 越大，界越紧。当 $\varepsilon \le \sigma$ 时，$\sigma^2/\varepsilon^2 \ge 1$，上界无意义（概率不超过 1 是平凡的）。

习题 1

设 $X$ 的期望为 4，方差为 2，用切比雪夫不等式估计 $P(|X - 4| \ge 4)$ 的上界。

解： $\mu = 4$，$\sigma^2 = 2$，$\varepsilon = 4$。

$$P(|X - 4| \ge 4) \le \frac{2}{16} = \frac{1}{8} = 0.125$$
习题 2

设 $X_1, X_2, \ldots, X_{100}$ 相互独立，$E(X_i) = 0$，$D(X_i) = 4$，估计 $P\left(\left|\sum_{i=1}^{100} X_i\right| \ge 40\right)$ 的上界。

解： 令 $S = \sum_{i=1}^{100} X_i$，$E(S) = 0$，$D(S) = 100 \times 4 = 400$。

$$P(|S| \ge 40) \le \frac{400}{40^2} = \frac{400}{1600} = \frac{1}{4} = 0.25$$
十七、中心极限定理
方法十七：中心极限定理
核心思想：大量独立同分布的随机变量之和（或均值）的分布近似正态分布，无论原始分布是什么。

林德伯格-列维定理（独立同分布情形）：

设 $X_1, X_2, \ldots$ 独立同分布，$E(X_i) = \mu$，$D(X_i) = \sigma^2 \gt 0$，则对 $n$ 充分大：

$$\sum_{i=1}^{n} X_i \approx N(n\mu, \, n\sigma^2)$$

等价地，标准化：

$$\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \approx N(0, 1)$$

或用样本均值：

$$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \approx N(0, 1), \quad \overline{X} \approx N\!\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$$

棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布的正态近似）：

设 $X \sim B(n, p)$，当 $n$ 充分大时：

$$X \approx N(np, \, np(1-p))$$

标准化：

$$\frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \approx N(0, 1)$$

解题步骤：

  1. 识别独立同分布或二项分布的条件。
  2. 计算和的期望 $n\mu$ 与方差 $n\sigma^2$（或 $np$ 与 $np(1-p)$）。
  3. 标准化转化为标准正态分布。
  4. 查表计算概率。
⚠ 常见陷阱

棣莫弗-拉普拉斯定理中，求 $P(a \le X \le b)$ 时，连续型近似需要连续性修正：用 $P(a - 0.5 \le X \le b + 0.5)$ 代替。专升本考试中不一定要求修正，但了解可以提高精度。

习题 1

某批螺丝每盒 100 个，每盒次品数 $X \sim B(100, 0.02)$，用中心极限定理求 $P(X \le 5)$。

解： $np = 2$，$np(1-p) = 1.96$，$\sqrt{1.96} = 1.4$。

$$P(X \le 5) = P\left(\frac{X - 2}{1.4} \le \frac{5 - 2}{1.4}\right) \approx \Phi(2.14) \approx 0.9838$$

（若用连续性修正：$P(X \le 5) \approx \Phi(2.5) \approx 0.9938$。）

习题 2

某设备每天运行时间 $X_i$（小时）独立同分布，$E(X_i) = 8$，$D(X_i) = 4$。用中心极限定理估计 36 天总运行时间超过 300 小时的概率。

解： 令 $S = \sum_{i=1}^{36} X_i$，$E(S) = 36 \times 8 = 288$，$D(S) = 36 \times 4 = 144$，$\sigma_S = 12$。

$$P(S \gt 300) = P\left(Z \gt \frac{300 - 288}{12}\right) = P(Z \gt 1) = 1 - \Phi(1) \approx 0.1587$$
第八篇 综合策略篇——方法选择与实战思路
十八、概率论解题方法选择指南
✅ 方法选择决策流程

拿到一道概率论题，按以下顺序思考：

  1. 第一步：识别题型
    • 求概率 $\to$ 判断是古典概型、条件概率还是独立性问题
    • 求分布 $\to$ 判断是离散型还是连续型
    • 求数字特征 $\to$ 套期望/方差公式
    • 求近似概率 $\to$ 中心极限定理
  2. 第二步：根据题型选方法
    • 古典概型 $\to$ 排列组合计数
    • 分阶段/分情况 $\to$ 全概率公式
    • 由果溯因 $\to$ 贝叶斯公式
    • 独立重复 $n$ 次 $\to$ 二项分布/伯努利概型
    • 已知分布律/密度 $\to$ 求期望方差直接套公式
    • 正态分布 $\to$ 标准化后查表
    • 大量独立求和 $\to$ 中心极限定理
    • 概率估计 $\to$ 切比雪夫不等式
  3. 第三步：验证
    • 古典概型：确认等可能性
    • 独立性：确认 $P(AB) = P(A)P(B)$
    • 全概率/贝叶斯：确认 $B_1, \ldots, B_n$ 是划分（互斥且完备）
    • 中心极限定理：确认 $n$ 足够大
  4. 第四步：灵活组合
    • 一道题可能需要多种方法组合（如先用全概率公式求概率，再判断分布类型）
    • 期望方差公式可以逆向使用：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，已知方差可反求 $E(X^2)$
十九、综合习题
综合习题 1

设有三箱产品，第一箱 50 件中 10 件次品，第二箱 40 件中 10 件次品，第三箱 30 件中 5 件次品。任选一箱，从中任取一件，求取到次品的概率。若已知取到次品，求它来自第三箱的概率。

解：

（1）设 $B_i$ = 选第 $i$ 箱（$i=1,2,3$），$A$ = 取到次品。

$$P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = \frac{1}{3}$$

$P(A|B_1) = \dfrac{10}{50} = 0.2$，$P(A|B_2) = \dfrac{10}{40} = 0.25$，$P(A|B_3) = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}$

全概率公式：

$$P(A) = \frac{1}{3}\left(0.2 + 0.25 + \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{3} \times \frac{37}{60} = \frac{37}{180}$$

（2）贝叶斯公式：

$$P(B_3|A) = \frac{P(B_3) \cdot P(A|B_3)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{6}}{\frac{37}{180}} = \frac{\frac{1}{18}}{\frac{37}{180}} = \frac{10}{37} \approx 0.270$$
综合习题 2

设 $X \sim f(x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, & x \gt 0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases}$，求 $E(X)$、$D(X)$ 和 $P(X \gt 1 \mid X \gt 0.5)$。

解：

$X \sim E(\lambda = 2)$（指数分布）。

$$E(X) = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{2}, \quad D(X) = \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{4}$$

由无记忆性：

$$P(X \gt 1 \mid X \gt 0.5) = P(X \gt 0.5) = e^{-2 \times 0.5} = e^{-1} \approx 0.3679$$
综合习题 3

某次考试有 100 道独立选择题，每题 4 选 1。学生完全不会，纯随机作答。用中心极限定理估计总分不低于 30 分（每题 1 分）的概率。

解： 设答对题数 $X \sim B(100, 0.25)$。

$np = 25$，$np(1-p) = 18.75$，$\sigma = \sqrt{18.75} \approx 4.33$。

$$P(X \ge 30) = P\left(Z \ge \frac{30 - 25}{4.33}\right) \approx P(Z \ge 1.15) = 1 - \Phi(1.15) \approx 0.1251$$

（若用连续性修正：$P(X \ge 30) \approx P\left(Z \ge \frac{29.5 - 25}{4.33}\right) = P(Z \ge 1.04) \approx 0.1492$。）

二十、专升本概率论常见题型速查表
专升本概率论常见题型与方法速查
题型特征首选方法备用方法
排列组合计数古典概型对立事件转化
已知 $P(A), P(B)$ 求组合加法公式对立事件
分阶段/分箱取球全概率公式逐一列举
由果溯因贝叶斯公式全概率公式
独立射击/系统可靠性独立性 + 对立事件概率公式
独立重复 $n$ 次二项分布/伯努利—
已知分布律求期望方差$E(X)=\sum x_k p_k$—
已知密度求期望方差$E(X)=\int x f(x)dx$—
$D(X)$ 快速计算$E(X^2) - [E(X)]^2$定义法
正态分布求概率标准化 + 查 $\Phi$ 表$3\sigma$ 法则
指数分布求概率分布函数 $1 - e^{-\lambda x}$无记忆性
大量独立求和中心极限定理切比雪夫不等式
概率上/下界估计切比雪夫不等式—
协方差/相关系数$E(XY) - E(X)E(Y)$定义法
✅ 概率论核心公式速记

三大公式：

数字特征：

重要分布参数：

概率论的核心框架：先识别题型，再选公式，最后验证条件。